Sommaire

1. Choix des outils, paramètres

Le panneau "Calcul" permet de choisir les outils de calcul :

- les  calculs numériques peuvent se faire sur les entiers, les décimaux ou les rationnels,

- les outils de calculs utilisables sont déterminés par le niveau d'algèbre dynamique dont les valeurs possibles sont : pédagogique, faible, moyen, fort, personnalisé.  

Le déclenchement du calcul par clic est piloté par une liste de choix du panneau "Calcul" :

Lorsque "Algèbre dynamique : Personnalisé" est sélectionnée, EpsilonWriter présente les différents mécanismes d'algèbre dynamique afin que l'utilisateur choisisse ceux qu'il veut utiliser. Ces choix sont mémorisés et peuvent être modifiés en sélectionnant à nouveau "Algèbre dynamique : Personnalisé".

Les choix de mécanismes sont des paramètres de l'application. Il est possible de "Voir les paramètres de l'application" avec le menu "Options" et aussi d'afficher un "Tableau des paramètres" qui présente les valeurs de ces paramètres pour tous les modes d'algèbre dynamique. Ce tableau se trouve aussi à :

2. Calculs par clic et par bouton  

2.1. Calculs exacts par clic sur expression ou utilisation d'un bouton  

Le calcul par clic inclut le calcul numérique exact, la factorisation d'entiers, le développement-réduction, la résolution des équations de degré 1,  la production des schémas de résolution des équations de degré 2 et 3, les conditions de définition des fonctions rationnelles, le passage de certaines conditions logiques à des ensembles de solutions,  le calcul de limites, le passage de fractions rationnelles factorisées à des tableaux de signes, le calcul des dérivées, le passage d'une forme où y est une fraction rationnelle factorisée au tableau de variations.

Pour faire un calcul exact, on peut sélectionner une expression ou une sous-expression. Si $le mode Calcul par clic est actif et si des calculs sont possibles, ils sont listés dans une bulle d'aide. Lorsqu'il y en a un seul, un clic sur la bulle d'aide applique le calcul proposé. Lorqu'il y en a plusieurs, un Ctrl+Clic sur la sélection fait apparaître un menu pour choisir le calcul à appliquer.

La liste de choix "Dupliquer ..." du panneau Calcul indique si le résultat du calcul doit être affiché à la place, à côté ou en-dessous de l'expression à calculer.

Le choix du domaine (entiers, décimaux ou rationnels) se fait avec une liste de choix du panneau "Calcul".

2.2. Le calcul par clic sur opérateur

Lorsque la souis survole un opérateur, si ce mode est actif et si des calculs sont possibles, ils sont listés dans une bulle d'aide.

Un Ctrl+Clic sur un opérateur demande d'effectuer un calcul sur l'expression de cet opérateur.

Exemple, un Ctrl+Clic sur + dans produit

2.3.  Les calculs basiques proposés

Des calculs numériques, des développements et des réductions sont proposés, principalement pour les expressions rationnelles.

La résolution d'équations linéaires d'une variable est aussi proposée.

Le bouton permet d'effectuer des calculs approchés.

Les boutons  permettent de convertir des décimaux en fractions et des fractions en décimaux.

Le bouton permet de dupliquer l'expression, c'est utile lorsque l'on ne duplique pas l'expression automatiquement pour chaque calcul.  

2.4.  Calculs proposé pour les polynômes et les équations d'une variable du second degré

Selon les coefficients, les actions suivantes sont proposées pour :

- Mettre sous forme canonique,

- Factoriser avec

- Produire les formules du discriminant pour factoriser le polynôme.

EpsilonWriter propose aussi de produire les formules du discriminant pour résoudre

2.5.  Calculs proposé pour les polynômes et les équations d'une variable du troisième degré

EpsilonWriter propose de produire les formules de Cardan pour factoriser et pour résoudre    

2.6. Tableaux de signes

Pour de nombreuses expressions rationnelles factorisées, comme , EpsilonWriter propose de construire un tableau de signe (un tableau rempli ou à remplir).

2.7. Conditions et ensembles de définition de fonctions

Quand une fonction est définie avec un signe égal, comme EpsilonWriter propose de produire les conditions de définition, dans l'exemple :

Définie quand: x(x-2)≠0

Il est nécessaire ici d'utiliser la véritable notation des fonctions d'EpsilonWriter, c'est-à-dire l'une des lettres f, g et h en forme droite (quand les lettres sont en italique, elles représentent des variables, pas des fonctions).

Quand les conditions de définition sont sous forme factorisée, EpsilonWriter proposes généralement de produire l'ensemble correspondant. Pour la condition ci-dessus :

Ensemble : ]-∞;0[∪]0;2[∪]2;+∞[

2.8. Limites de fractions rationnelles  

Pour les limites de fractions rationnelles à l'infini, comme , EpsilonWriter applique le théorème des plus hauts degrés.

Pour les limites de fractions rationnelles à des valeurs finies, comme EpsilonWriter remplace la variable x par la notation et permet de faire des calculs de limites avec cette notation.  

2.9. Calcul de dérivées

La notation pour les dérivées peut être ou

EpsilonWriter calcule une étape de dérivation quand un Ctrl-Click est effectué sur un opérateur de dérivée.

Presque toutes les fonctions usuelles peuvent être dérivées.

2.10. Tableau de variations de fonctions rationnelles

Quand une dérivée est exprimé sous forme factorisée avec un signe égal, comme , EpsilonWriter propose généralement de fournir un tableau de variations (un tableau rempli, excepté les limites et les valeurs minimales et maximales, ou un tableau à remplir).

Il est nécessaire ici d'utiliser la véritable notation des fonctions d'EpsilonWriter, c'est-à-dire l'une des lettres f, g et h en forme droite (quand les lettres sont en italique, elles représentent des variables, pas des fonctions).

2.11. Simplification d'ensembles de nombres réels  

Les ensembles de nombres réels, exprimés comme combinaisons d'intervalles de d'ensembles finis, comme peuvent être simplifiés.

3. Le glisser-déposer externe  

Fonctionne avec les options "Algèbre dynamique : moyen et fort".

On dit qu'on effectue un glisser-déposer externe lorsque l’expression sélectionnée et l'emplacement pour déposer ne se trouvent pas dans une même expression mathématique, par exemple, s'il l'on a :

et si l'on effectue un glisser-déposer de l’expression sélectionnée quelque part dans x+y=6 on est en glisser-déposer externe. Il n'y a pas de lien mathématique entre y=x+3  et x+y=6 pour EpsilonWriter, il y a juste une équation en dessous d'une autre.

3.1. Le pointage de l'emplacement pour déposer en glisser-déposer externe

Pendant le glisser, lorsque le curseur de la souris :

- survole un élément atomique, celui-ci est montré sous la forme d'une deuxième sélection en bleu,

- survole un opérateur, l'expression de cet opérateur est montrée sous la forme d'une deuxième sélection en bleu,

- n'est pas dans l'un des deux cas précédents, un curseur de dépose est affiché.

Voici quatre exemples de d'indication de l'emplacement pour déposer :  

Lorsque la dépose est possible, un popup affiche les possibilités sous la forme de l'expression produite et de la description de l'action.

3.2.  La réalisation du glisser-déposer externe

Pour accepter une proposition de dépose affichée dans le popup, il faut relâcher le bouton de la souris. S'il y en avait plusieurs propositions, le popup reste affiché et il faut faire un choix en cliquant ou avec la touche entrée ou annuler avec Ctrl+Z.

Code couleur des boutons du popup :

- vert : opération mathématique apportant une équivalence (voir explications dans la section équivalence),  

- rouge : opération mathématique n'apportant pas d'équivalence a priori.

Les options :

Dupliquer lors des calculs  

Expliquer les calculs

s'appliquent aussi au glisser-déposer externe.

3.3. Les opérations possibles en glisser-déposer externe

Substitution

Lorsque l’expression sélectionnée est une substitution, c'est-à-dire :

- une égalité de la forme x= ... ou ... =x , exemple x=y+2

- un système d'égalités de ce type, exemple : contrexemple :   dans ce cas, la variable y exprimée dans la deuxième équation étant présente dans la première équation, le système n'est pas considéré comme une substitution,

EpsilonWriter propose d'effectuer la substitution si l'emplacement de la dépose est une expression contenant des variables de la substitution.  

Equivalence

Dans ce cas, il y a pas équivalence a priori.

Il y a cependant équivalence dans le cas d'un système d'équations, si la substitution sélectionnée est une équation du système.

Substitution d'une variable par une expression

Lorsque l’expression sélectionnée est une expression, par exemple 4 ou encore 2x+1 , si l'emplacement de la dépose est une variable, EpsilonWriter propose d'effectuer une substitution de la variable par l'expression.

Addition ou soustraction membre à membre de relations

Lorsque l’expression sélectionnée est une égalité ou inégalité et que l'emplacement de la dépose est une égalité ou inégalité,

EpsilonWriter propose une addition et une soustraction membre à membre si cela a du sens, c'est-à-dire si le résultat est impliqué par les deux relations concernées.

Equivalence

Dans ce cas, il y a pas équivalence a priori.

Additionner, soustraire, multiplier, diviser les deux membres d'une relation par une expression

Lorsque l’expression sélectionnée est une expression numérique avec éventuellement des variables (mais pas une relation par exemple) et l'emplacement de la dépose est une égalité ou une inégalité,  

EpsilonWriter propose d'additionner, soustraire, multiplier, diviser les deux membres par l'expression.  

Pour les inégalités, c'est uniquement quand l’expression sélectionnée est un nombre (avec changement du sens de l'inégalité quand le nombre est négatif).

Equivalence

Dans ce cas, il y a équivalence entre la relation initiale et la relation, obtenue sauf dans le cas de multiplication par 0 (la division par zéro n'étant pas proposée). Cette équivalente peut nécessiter l'ajout par l'utilisateur de conditions comme x≠0 si l'on divise les deux membres d'une égalité par x

4. Le glisser-déposer "assimilé" externe  

Fonctionne avec les options "Algèbre dynamique : moyen et fort".

Lorsque l'expression sélectionnée et l'emplacement pour déposer sont dans une même formule globales mais dans des égalités ou inégalités ou expressions numériques (avec ou sans variables) on considère que l'on est dans une situation semblable à celle du glisser-déposer externe et le comportement général du glisser-déposer est le même.

C'est le cas de systèmes d'équations ou d'inéquations :

Exemple : si on dépose 2x=5 sur y ou sur  x+y=6  

Dans le cas d'un système d'équations ou d'inéquations, il y a toutefois une différence au niveau de l'équivalence :

- dans le cas d'une substitution, il y a équivalence entre le système d'origine et le système obtenu,

- dans le cas "Addition ou soustraction membre à membre de relations", il y a équivalence entre le système d'origine et le système obtenu si la relation ajoutée ou soustraite est une égalité.

5. Le glisser-déposer interne  

Lorsque l'expression sélectionnée et l'emplacement pour déposer sont dans une même expression numérique (avec ou sans variables) ou dans une même égalité ou inégalité, on est dans le cas du glisser-déposer interne.

Le glisser-déposer interne fonctionne selon l'option "Algèbre dynamique" :

- Avec l'option "Algèbre dynamique : pédagogique", seuls les mouvements basiques sont proposés. Un mouvement basique d'une expression a est un mouvement qui conserve a ou le remplace par -a ou par , et qui conserve le reste de l'expression avec une exception possible: s'il y a une inégalité, son sens peut être inversé.  Avec cette option, les gestes qui ne produisent pas de mouvement basique sont indiqués.  

- Avec l'option "Algèbre dynamique : faible", les mouvements simples et utiles (basiques ou non) sont proposés.  

- Avec l'option "Algèbre dynamique : moyen", les mouvements proposés sont plus nombreux.

- Avec l'option "Algèbre dynamique : fort", tous les mouvements possibles avec EpsilonWriter sont proposés.

5.1. Exemples de déplacements  

Un argument d'une somme ou d'un produit peut être déplacé dans cette somme ou ce produit.  

Un membre d'une relation, ou un terme additif d'un membre,  peut être déplacé de façon additive dans  l'autre membre.  Il est remplacé par son opposé.

Un membre d'une relation, ou un facteur d'un membre, peut être déplacé de façon multiplicative dans l'autre membre. Il doit être non nul. Dans le cas d'une inégalité, il ne doit pas contenir de variable. Il devient diviseur. Le sens de la relation est inversé si nécessaire.  

Si l'on déplace 4x dans 4x<2 , il n'y a pas de proposition comme diviseur car 4x n'est pas constant.  

Un exposant 2 d'un membre d'une égalité peut être déplacé dans l'autre membre si ce dernier est une expression sans variable. Il y a alors production d'une racine carrée et d'un "ou" entre deux égalités.  

5.2. Exemples de sorties d'une expression

Un  terme d'une somme ou un facteur d'un terme d'une somme, peut sortir de la somme comme facteur.  Il doit être non nul.

Un numérateur ou un facteur d'un numérateur peut être déplacé en dehors de la fraction.    

PGCD en facteur

Lorsque l'on demande de mettre en facteur un nombre entier positif n dans un somme, si les termes de la sommes ont des coefficients admettant un PGCD différent de 1 et de n , EpsilonWriter propose aussi de mettre le PGCD en facteur.  

5.3. Exemples d'entrée dans une expression

Un facteur peut entrer dans une somme, un développement est alors effectué.  

Un facteur d'une fraction peut entrer dans le numérateur.  

Un  diviseur peut entrer dans une somme, un développement est alors effectué (si le diviseur est a on distribue l'inverse de a ).  

Exemple, en combinaison avec un déplacement dans une égalité :

Un exposant 2 ou 3 portant sur une somme de deux termes peut entrer dans la somme, un développement est alors effectué

Un exposant portant sur un produit, un opposé ou une puissance peut entrer dans son argument

5.4.  Le cas du signe -

Un signe - sélectionné peut faire l'objet d'un glisser-déposer, tout se passe comme si -1 avait été sélectionné avec un statut de facteur.

5.5.  Combinaisons : combinaisons additives

Notion de termes semblables

Deux termes d'une somme sont semblables lorsque chacun est de l'une des formes   , , avec le même A et le même n , A étant une expression quelconque, c un nombre et n un nombre entier qui peut être omis s'il vaut 1.

Exemples :

x , -x , 3x , , , sont des termes semblables

, , , , sont des termes semblables

, , , , sont des termes semblables

Lorsque l'option "Combinaison d'exposants positifs et négatifs" est activée,   et avec le même A et le même n sont aussi considérés comme des termes semblables  

Un terme d'une somme peut être déplacé dans cette somme sur un terme semblable pour que les deux soient remplacés par leur somme calculée.

Le calcul du coefficient tient compte de l'option "Calculer (exact...)".

Un terme d'une somme de la forme nA peut être déplacé dans cette somme sur un terme de la forme pour produire une forme canonique

5.6.  Combinaisons : combinaisons multiplicatives

Notion de  facteurs semblables

Deux facteurs d'un produit sont semblables lorsque chacun est de l'une des formes A , , avec le même A , A étant une expression quelconque, n un nombre entier.

Exemples :

(y+2) , , sont des facteurs semblables

Lorsque l'option "Combinaison d'exposants positifs et négatifs" est activée,  A , , , avec le même A  sont des facteurs semblables  

Un  facteur d'un produit peut être déplacé dans ce produit sur un  facteur semblable pour que les deux soient remplacés par leur produit calculé.

5.7.  Combinaisons : simplifications des fractions

Un nombre entier facteur au numérateur/dénominateur d'une fraction peut être déplacé sur un nombre entier facteur au dénominateur/numérateur de la fraction pour que les deux soient simplifiés par leur PGCD.

Une expression de la forme X ou facteur au numérateur/dénominateur d'une fraction peut être déplacée sur une expression de la forme X ou  facteur au dénominateur/numérateur de la fraction pour que les deux soient simplifiées par   avec k maximum.

Qu'est-ce que "être facteur au numérateur" dans les cas ci-dessus ?

C'est être X dans l'une des formes , idem pour le facteur au dénominateur.

5.8.  Combinaisons : simplifications multiplicatives des relations

Des simplifications analogues aux simplifications des fractions peuvent être effectuées sur les relations.

Pour les inégalités : il faut que l'expression par laquelle on simplifie soit constante et lorsque son signe est négatif, le sens de l'inégalité est inversé.

Attention : lorsque la simplification est faite par une expression non constante dans une équation, il y a généralement perte de solutions, par exemple, si l'on simplifie l'équation x(2x+3)=x(4-x) par x on perd la solution x=0

C'est à l'utilisateur de gérer les conditions qui accompagnent les opérations. Dans le cas ci-dessus, l'utilisateur peut ajouter "quand x≠0 " et gérer par ailleurs le cas x=0 . Il peut aussi ne pas faire l'opération et faire un traitement ne séparant pas des cas.

Exemple, on sélectionne un signe - par Ctrl+Clic et on le déplace sur l'autre signe -

5.9.  Combinaisons : simplifications additives des relations

Des simplifications additives analogues aux combinaisons additives dans les sommes peuvent être effectuées sur les relations.

6. L'équivalence

L'équivalence indiquée par EpsilonWriter dans le popup et les explications :

Quand il y a équivalence, les boutons sont verts dans le popup et la flèche de l'explication est sinueuse et verte :  

L'équivalence mentionnée dans les glisser-déposer interne et externe est une équivalence apportée par le contexte et l'interprétation du geste :

Dans certains contextes, on sait qu'il y a équivalence modulo des conditions à ajouter le cas échéant

De façon plus précise :

Quand il y a indication d'équivalence, c'est que le contexte (interne ou externe, nature de la transformation effectuée, nature des expressions sur lesquelles elle opère)  permettent de l'affirmer, modulo des conditions à ajouter le cas échéant.

Attention, il peut parfois y avoir équivalence quand le contexte ne l'indique pas, par exemple, dans le système d'inéquations l'ajout membre à membre des inéquations qui produit n'est pas une opération apportant l'équivalence, seulement une implication, mais dans le cas particulier   il y a quand même équivalence et EpsilonWriter ne l'indique pas. Donc l'équivalence indiquée n'est pas une équivalence entre expression initiale et expression transformée (comme c'est le cas dans Aplusix) mais une équivalence apportée par le contexte et la nature du geste.

7. Les explications

7.1. Signification des flèches

L'explication avec la flèche droite → ci-dessous :

se lit :

c≤d a été remplacé par  c+a≤d+b . La flèche → indique le remplacement, rien de plus.

L'explication avec la flèche sinueuse ci-dessous :  

se lit  2(3x+y+5) a été remplacé par  6x+2y+10 en effectuant l'opération " développement " et il y a équivalence avec éventuellement des conditions à ajouter.

Dans ce cas, l'équivalence peut se trouver entre les deux expressions mentionnées ou au niveau d'un système d'équations et inéquations qui contient les deux arguments de l'opération (application d'une substitution, ajout ou soustraction membre à membre).

7. 2.  Le code couleur

Pour les déplacements, entrées, sorties, la couleur rouge indique l'élément déplacé.

Exemple :

Dans certains cas, l'élément ne se retrouve pas dans le résultat, c'est une opération plus complexe qui est effectuée, son résultat est indiqué en marron, exemple :

8. Défaire

Lorsque l'on ne fait pas de duplication et que l'on ne demande pas d'explication, le résultat de l'opération remplace simplement l'expression. Dans ce cas, "défaire" (Ctrl+Z) replace dans la situation précédent l'opération.

Lorsque l'on effectue une duplication ou que l'on demande une explication, il y a production de lignes complémentaires. Dans ce cas, un premier "défaire" place dans la situation "opération  sans duplication et sans explication" et un deuxième "défaire" replace dans la situation précédent l'opération.

9. Supprimer, modifier des explications

Les explications sont fournies dans un paragraphe ou dans un tableau. Elles sont modifiables.

10. Génération de formules

L'opérateur spécial de formules "pour" (bouton sur le panneau des matrices et intégrales) permet d'engendrer des formules en instanciant des paramètres. Par exemple, si l'on écrit la formule :

et si l'on effectue un Ctrl+Clic sur pour, on obtient :

8x+3=0   8x+1=0   6x+2=0   6x+1=0   4x+1=0   8x+2=0  

sur la ligne en-dessous.  

Chaque lettre qui est à droite de pour est un paramètre entier qui doit avoir un minimum et un maximum numérique explicite, exprimé par des inégalités simples ou doubles. L'argument de droite de "pour" peut combiner les trois formes de "et" : ∧ de façon quelconque. L'ordre des conditions n'a pas d'importance. Les conditions n'indiquant pas un minimum ou un maximum peuvent comporter des

Il est possible d'utiliser l'opérateur mod (modulo, reste de la division) dans les conditions.

Les formules engendrées sont ordonnées au hasard.

Un opérateur spécial de nom nombre permet de limiter le nombre de formules à engendrer. Par exemple :

fournit 10 nombres entre 0 et 1000 dont le reste de la division par 7 est égal à 1.